Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer 1

分析：（1）分别将A，B，O的坐标代入，通过方程组求a，b，c．
（2）利用二次函数的图象和性质，结合对称轴的性质，求AM+OM的最小值．

解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）代入y=ax²+bx+c中，
得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

，解得a=-

1

2

，b=1，c=0，
所以解析式为y=-

1

2

x²+x．
（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB，
∴OM=BM，
∴OM+AM=BM+AM，
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小，
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值为4

2

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．