Question

已知函数y=

x+2

x2+x+1

（x＞-2）
（1）求

1

y

的取值范围；    
（2）当x为何值时，y取何最大值？

Answer 1

分析：（1）先设：x+2=t，则：

1

y

=

x2+x+1

x+2

=

t2-3t+3

t

，再利用基本不等式求出其取值范围；
（2）欲使y最大，必定

1

y

最小，由（1）可知，此时t=

3

，即x=2+

3

，y_max=

2 3 +3

3

，从而得y的最大值．

解答：解：（1）设：x+2=t，x=t-2，t＞0，
则：

1

y

=

x2+x+1

x+2

=

t2-3t+3

t

=t+

3

t

-3≥2

3

-3，
∴

1

y

的取值范围为[2

3

-3，++∞）；
（2）欲使y最大，必定

1

y

最小，
此时t=

3

t

，可得t=

3

，即x=2+

3

，y_max=

2 3 +3

3

∴当x=2+

3

时，y最大值为

2 3 +3

3

．

点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．