Question

9．已知函数f（x）=1g（$\frac{mx}{x+1}$+n）（m，n∈R，m＞0）的图象关于原点对称．
（1）求m，n的值；
（2）若x₁x₂＞0，试比较f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）与$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（-x）+f（x）=0恒成立，得到关于m，n的不等式组，解出即可；（2）求出函数f（x）的导数，从而求出函数值的大小即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg（$\frac{mx}{x+1}$+n）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴lg（ $\frac{-mx}{-x+1}$+n）+lg（ $\frac{mx}{x+1}$+n）=0，
∴（ $\frac{-mx}{-x+1}$+n）•（ $\frac{mx}{x+1}$+n）=1，
∴$\frac{{[（m+n）}^{2}-1{]x}^{2}+1{-n}^{2}}{{x}^{2}-1}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1{-n}^{2}=0}\\{{（m+n）}^{2}-1=0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得，n=-1，m=2；
（2）由（1）得：f（x）=lg（$\frac{2x}{x+1}$-1）=lg$\frac{x-1}{x+1}$，
由$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得：x＞1或x＜-1，
∴函数f（x）的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞），
当x₁，x₂∈（1，+∞）时：
f′（x）$\frac{2}{（x+1）（x-1）ln10}$＞0，
故f（x）在（1，+∞）递增，
而f″（x）=-$\frac{2x}{{{（x}^{2}-1）}^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）是凸函数，
∴f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
又f（-x）=lg$\frac{-x-1}{-x+1}$=-lg$\frac{x-1}{x+1}$=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数，
∴函数f（x）在（-∞，-1）是凹函数，
∴f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用，考查导数的应用，是一道中档题．