Question

已知函数（）.
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：解题思路：（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用该区间上的极值的正负判断函数零点的个数；（3）通过构造函数求最值进行证明.规律总结：利用导数研究函数的性质是常见题型，主要是通过导数研究函数的单调性、求单调区间、求极值、最值以及不等式恒成立等问题，往往计算量较大，思维量大，要求学生有较高的逻辑推理能力.
试题解析：（1）当时，，，切点坐标为，
切线的斜率，则切线方程为，即.
（2），则，
因，故时，.当时，；当时，.
所以在处取得极大值.
又，，，则，
在上有两个零点，则
解得，即实数的取值范围是.
（3）因为的图象与轴交于两个不同的点，
所以方程的两个根为，则两式相减得.又，，则.
下证（*），即证明，，
因为，∴，即证明在上恒成立.
所以，又，∴，
所以在上是增函数，则，从而知，
故（*）式成立，即成立.