Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为bn=

an

an+t

，若b₁，b₂，b₄成等差数列，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅+a₁₃=34，S₃=9可得关于数列首项与公差的方程组，解方程求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．
（2）由b₁，b₂，b₄成等差数列，结合等差数列性质及bn=

an

an+t

，构造关于t的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴a₁+8d=17，2a₁+3d=9，…（2分）
解得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，S_n=n²，…（6分）
（2）由（1）得bn=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

若b₁，b₂，b₄成等差数列
则2b₂=b₁+b₄…8分
即2×

3

3+t

=

1

1+t

+

7

7+t

…10分
解得t=5…12分

点评：本题考查等差数列的性质和应用，考查运算求解能力和论证推理能力，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．