Question

已知b＞－1，c＞0，函数f(x)＝x＋b的图像与函数g(x)＝x²＋bx＋c的图像相切．

(Ⅰ)设，求；

(Ⅱ)设(其中x＞－b)在[－1，＋∞)上是增函数，求c的最小值；

(Ⅲ)是否存在常数c，使得函数H(x)＝f(x)g(x)在(－∞，＋∞)内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：[方法一]由， 　　依题设可知，． 　　∵b＞，c＞0， 　　∴，即． 　　[方法二]依题设可知，即， 　　∴为切点横坐标， 　　于是，化简得． 　　同法一得． 　　(Ⅱ)依题设， 　　∴． 　　∵在上是增函数， 　　∴≥0在上恒成立， 　　又x＞，c＞0，∴上式等价于≥0在上恒成立， 　　即≤，而由(Ⅰ)可知≤， 　　∴≥． 　　又函数在上的最大值为2， 　　∴≥2，解得c≥4，即c的最小值为4． 　　(Ⅲ)由， 　　可得． 　　令，依题设欲使函数在内有极值点， 　　则须满足＞0， 　　亦即＞0，解得＜或＞， 　　又c＞0，∴0＜c＜或c＞． 　　故存在常数，使得函数在内有极值点．(注：若△≥0，则应扣1分．)