题目内容
某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，日产量不超过94件，且会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x件之间大体满足关系：P=
（1≤x≤94，x∈N）．已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元．
（1）试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？
| 1 |
| 96-x |
| A |
| 2 |
（1）试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？
分析：（1）每天的赢利额=盈利额-亏损额=A×合格品数-
×次品数．可得出T=x（1-
）A-
•
=[x-
]A
（2）将T得解析式变形为T=（x+
-
）A=[97
-（96-x）-
]A，再利用基本不等式求出最大值即可．
| A |
| 2 |
| 1 |
| 96-x |
| x |
| 96-x |
| A |
| 2 |
| 3x |
| 2(96-x) |
（2）将T得解析式变形为T=（x+
| 3 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
| 1 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
解答：解：（1）当1≤x≤94时，p=
，
每日生产的合格品约为x（1-
）件，次品约为
件，
∴T=x（1-
）A-
•
=[x-
]A（1≤x≤94）．
（2）当1≤x≤94时，T=（x+
-
）A=[97
-（96-x）-
]A．
∵x≤94，∴96-x＞0，
∴T≤[97
-2
]•A=（97
-24）•A=
A
当且仅当96-x=
时，即x=84时，等号成立．
故要获得最大利润，日产量应为84件．
| 1 |
| 96-x |
每日生产的合格品约为x（1-
| 1 |
| 96-x |
| x |
| 96-x |
∴T=x（1-
| 1 |
| 96-x |
| x |
| 96-x |
| A |
| 2 |
| 3x |
| 2(96-x) |
（2）当1≤x≤94时，T=（x+
| 3 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
| 1 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
∵x≤94，∴96-x＞0，
∴T≤[97
| 1 |
| 2 |
(96-x)•
|
| 1 |
| 2 |
| 147 |
| 2 |
当且仅当96-x=
| 144 |
| 96-x |
故要获得最大利润，日产量应为84件．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
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