Question

（1）已知△ABC三边a，b，c成等差数列，求B的范围；
（2）已知△ABC三边a，b，c成等比数列，求角B的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，两式联立小于b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围；
（2）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b²=ac，再由余弦定理表示出cosB，两式联立小于b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．

解答：解：（1）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴消去b化简得：cosB=

3(a2+c2)

8ac

-

1

4

≥

6ac

8ac

-

1

4

=

1

2

，
又B为三角形的内角，
∴B∈（0，

π

3

]；
（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴消去b化简得：cosB=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，
又B为三角形的内角，
∴B∈（0，

π

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．