Question

已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA₁=3，设D为AA₁的中点.

（1）作出该几何体的直观图并求其体积；

（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；

（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，请说明理由；若存在，证明你的结论.

Answer 1

(1)解：由题意可知该几何体为直三棱柱，直观图略.

∵几何体的底面积S=,高h=3,∴所求体积V=33.

(2)证明：连结B₁C交BC₁于E点，则E为BC₁、B₁C的中点，连结DE.

∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°∴△ABD≌△DA₁C₁.∴BD=DC₁.

∴DE⊥BC₁.同理DE⊥B₁C.

又∵B₁C∩BC₁=E，∴DE⊥面BB₁C₁C.

又∵DE面BDC₁，∴面BDC₁⊥面BB₁C₁C.

(3)解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC₁.

证明：连结PE，则PE平行且等于AD，∴四边形APED为平行四边形.

∴AP∥DE.又DE平面BDC₁，AP平面BDC₁，∴AP∥平面BDC₁.