题目内容
17．若函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e2x+aex在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）| A． | $[-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，+∞）$ | B． | $[\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，+∞）$ | C． | $[-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}]$ | D． | $（-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$ |
分析 f′（x）=1+$\frac{2}{3}{e}^{2x}+a{e}^{x}$，令ex=t，t＞0，要使函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e2x+aex在（-∞，+∞）单调递增，只需$\frac{2}{3}{t}^{2}+at+1≥0$在t∈（0，+∞）上恒成立，即a≥-（$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}）$在t∈（0，+∞）上恒成立即可，
解答 解：f′（x）=1+$\frac{2}{3}{e}^{2x}+a{e}^{x}$
令ex=t，t＞0，
要使函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e2x+aex在（-∞，+∞）单调递增，只需$\frac{2}{3}{t}^{2}+at+1≥0$在t∈（0，+∞）上恒成立
即a≥-（$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}）$在t∈（0，+∞）上恒成立，
∵$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}≥\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∴a$≥-\frac{2\sqrt{6}}{3}$
故选：A
点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ |
6．若圆（x-1）2+（y+1）2=r2上有且只有两个点到直线x-y=1的距离等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$则半径r的取值范围是（ ）
| A． | $（0，\sqrt{2}]$ | B． | $（0，\sqrt{2}）$ | C． | $[0，\sqrt{2}）$ | D． | $[0，\sqrt{2}]$ |