题目内容

设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有.

(Ⅰ)求证：=2Sn-an；

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅲ)若bn=3n+(-1)n-1λ·(λ为非零常数，n∈N+)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N+，都有bn+l＞bn.

答案：(1)证明：在已知式中,当n=1时,∵a1＞0  ∴a1=1

当n≥2时+++…+①+++…+②

①-②得,=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)∵an＞0  ∴=2a1+2a2+…+2an-1+an

即=2Sn-an∵a1=1适合上式∴=2Sn-an(nN+)

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知=2Sn-an(nN+)③当n≥2时,=2Sn-1-an-1④

③-④得=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1∵an+an-1＞0  ∴an-an-1=1

数列＜{an}是等差数列,首项为1,公差为1,可得an=n

(Ⅲ)解:∵an=n∴bn=3n+(-1)n-1λ·=3n+(-1)n-1λ·2n

欲使bn+1-bn=[3n+1+(1-)nλ·2n+1]-[3n+(-1)n-1λ·2n]=2·3n-3λ(-1)n-1·2n＞0

即(-1)n-1·λ＜()n-1成立⑤当n=2k-1,k=1,2,3…都成立,∴λ＜1

⑤式即为λ＜-()2k-1⑥依题意,⑦式对k=1,2,3…都成立λ＞  ∴＜λ＜1,又λ≠0

∴存在整数λ=-1,使得对任意nN+,都有bn+1＞bn.

练习册系列答案
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设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．
设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
设数列{an}的各项均为正实数，bn=log2an，若数列{bn}满足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若p=2，设数列{cn}对任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，问数列{cn}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn，点（an，Sn）在函数y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的图象上，数列{bn}的通项公式为bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n项和为Tn．
（1）求an；   
（2）求证：Tn-2n＜2．
（2013•江苏一模）设数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，对于任意正整数m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{an}的通项公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{an}成等比数列．

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