Question

（本题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据，，）

（Ⅱ）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ），    ……………………………………………………1分

∵  ，，

∴  ．   ……………………………………………………………2分

令 ，则，     ……………………3分

∴  在区间上单调递增，

∴  在区间上存在唯一零点，

∴  在区间上存在唯一的极小值点．   …………………………………4分

取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

，而，∴  极值点所在区间是；

又，∴  极值点所在区间是；

③  ∵  ，∴  区间内任意一点即为所求．  ……7分

（Ⅱ）由，得，

即 ，

∵  ，   ∴ ，     ……………………………………8分

令 ， 则．   ………………10分

令 ，则．

∵，∴，∴在上单调递增，

∴，

因此，故在上单调递增，   ……………………………12分

则，

∴  的取值范围是．    …………………………………………14分