Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点P(-1，-

2

2

)，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且

DF1

•

DF2

=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l恒过点(0，-

1

3

)，且交椭圆C于A、B两点，证明：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

Answer 1

分析：（1）由题意知△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，得a=

2

b，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T（0，1）．当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），由此能够证明以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

解答：解：（1）由题意知△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，
∴a=

2

b，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆过点P（-1，-

2

2

），代入方程

x2

2b2

+

y2

b2

=1，得b=1，
∴a=

2

，故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，
此圆显然过点T（0，1）．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，消去y，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，
∵

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)，
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0，
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），
综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考要直线和椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、向量垂直等知识点的合理运用．