Question

已知函数 ().

（1）若,求函数的极值;

（2）设．

① 当时,对任意,都有成立,求的最大值;

② 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.

 

Answer 1

（1）极大值是e－1,极小值

（2）①－1－e－1 ②(－1,＋∞)

【解析】（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)ex,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).

所以f ′(x)＝ex

令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0, )		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.

因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,

所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.

当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;

当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1.      ②因为g (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

因为a＞0,所以＝.

设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．

因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,

所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)