Question

设函数（其中），区间.
（1）求区间的长度（注：区间的长度定义为）；
（2）把区间的长度记作数列，令，证明：.

Answer 1

（1）（2）见解析

试题分析：（1）由，得，解一元二次不等时即可.
（2）先利用裂项相消法求出=，故,又易知单调递增，故，即可.
（1）由，得，解得，   3分
即，所以区间的长度为；           6分
（2）由（1）知，                              7分
则
                          10分
因为，故，     11分
又易知单增，故，
综上.                                                       12分的长度的定义；裂项相消法.