Question

已知椭圆方程为，右焦点F（1，0），准线上一点，过点F的直线l交椭圆与A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为，A点纵坐标为正数，求S_△CAF；
（2）证明直线AC和直线BC斜率之和为定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直线AF的斜率和点F（1，0），可以求出直线AF的方程，与椭圆方程联立，得出A的坐标，从而求出AF的长度，接着求出点C到直线AF的距离，再利用面积公式即可．
（2）讨论直线L的斜率．
①斜率为0时，方程为y=0，可以求出k_AC+K_BC=2；
②斜率不为0时，令方程为x=my+1，与椭圆方程联立得到关于y的一元二次方程，再利用斜率公式分别求出直线AC和直线BC的斜率，相加后化简得到2．综上所述，得到k_AC+k_BC=2
解答：解：（1）利用点斜式易求出直线AF的方程：，通过直线AF方程与椭圆方程联立得出A（0，），即|AF|=2
点C到直线AF的距离
．
（2）①若直线为y=0时，此时A（-2，0），B（2，0）．即k_AC+k_BC=
②若直线不为y=0时，设直线l方程为x=my+1，

整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，△=36m²+36（3m²+4）＞0恒成立
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴
∵
同理，
∴
=
=
=
=
∴直线AC与直线BC的斜率之和为定值．
点评：本题主要考查直线与椭圆综合题，考查椭圆的准线、焦点、直线的斜率等基础知识，但计算量比较大，一定细心，离不开平时的练习与努力．