Question

7．若非零实数x，y，z满足2^x=3^y=6^z，则$\frac{x+y}{z}$∈（　　）

• A． （5，6）
• B． （4，5）
• C． （3，4）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 设2^x=3^y=6^z=k≠1，利用换底公式可得：x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．于是$\frac{x+y}{z}$=$（\frac{1}{lg2}+\frac{1}{lg3}）（lg2+lg3）$，再利用基本不等式的性质、对数函数的单调性即可得出．

解答 解：设2^x=3^y=6^z=k≠1，
则x=$\frac{lgk}{lg2}$，y=$\frac{lgk}{lg3}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$．
则$\frac{x+y}{z}$=$\frac{\frac{lgk}{lg2}+\frac{lgk}{lg3}}{\frac{lgk}{lg6}}$=$（\frac{1}{lg2}+\frac{1}{lg3}）（lg2+lg3）$=2+$\frac{lg3}{lg2}+\frac{lg2}{lg3}$＞2+2=4，
另一方面：$\frac{x+y}{z}$=$\frac{\frac{lgk}{lg2}+\frac{lgk}{lg3}}{\frac{lgk}{lg6}}$=$（\frac{1}{lg2}+\frac{1}{lg3}）$lg6＜$\frac{lg8}{lg2}+\frac{lg9}{lg3}$=3+2=5．
∴$\frac{x+y}{z}$∈（4，5）．
故选：B．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数换底公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．