Question

6．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥平面$ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2\sqrt{3}$，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 过点A₁作A₁O⊥AC，由题意O为AC的中点，过点O作OD⊥AC交AB于D，由平面A₁ACC₁⊥平面ABC，得A₁O⊥平面ABC，以O为原点，OD，OC，OA₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面ABC与平面A₁ABB₁的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求得答案．

解答 解：过点A₁作A₁O⊥AC，由题意O为AC的中点，过点O作OD⊥AC交AB于D，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
以O为原点，OD，OC，OA₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系．
则$A（0，-\sqrt{3}，0），B（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0），{A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{AB}=（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0），\overrightarrow{A{A_1}}=（0，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
由题意平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，\sqrt{3}）$，
设平面A₁ABB₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{6}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，则$x=\sqrt{2}，y=-1，\overrightarrow n=（\sqrt{2}，-1，1）$．
设平面A₁ABB₁与平面ABC所成锐二面角为θ，
则$cosθ=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴平面A₁ABB₁与平面ABC所成锐二面角为60°．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．