题目内容

函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2；（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．则
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明．
（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2∴f（1）=2
（2）f(x)=log
1
2
x+2
（3）设0＜x1＜x2，则
x2
x1
＞1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(
x2
x1
)＜2
∴f(x2)=f(
x2
x1
•x1)=f(
x2
x1
)+f(x1)-2＜2+f（x1）-2=f（x1）
即f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减
练习册系列答案
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（2012•安徽模拟）给出以下命题：
①函数f(x)=|log2x2|既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x2-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x2）的定义域为（-1，1）；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|恒成立，且函数f（x）在R上递增，则函数h（x）=f（x）-g（x）在R上递增．
其中正确的命题是
②④⑤
②④⑤
（写出所有真命题的序号）
已知x≠0，函数f（x）满足f（x-
1
x
）=x2+
1
x2
，则f（x）的表达式为（　　）
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，f(x)=
f(1)x
，则函数f（x）的零点个数为
5
5
．
?x∈R，函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2）=-f（x），当x∈
0，1
时f(x)=cos
π
2
x，那么在x∈
-1，4
上方程f（x）=0的所有根的和是（　　）
（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|的取值范围是（　　）

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