Question

9．如图，已知六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M，N分别是棱AB，AA₁上的点，且AM=AN=1．
（1）证明：M，N，E₁，D四点共面；
（2）求直线BC与平面MNE₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）正面四点共面的方法主要采用线线平行来得到．
（2）首先建立空间直角坐标系，进一步利用法向量知识利用向量的夹角余弦公式求出结果．

解答 （1）证明：连接A₁B，D₁B₁，BD，A₁E₁，
在四边形A₁B₁D₁E₁中，A₁E₁=B₁D₁，且，A₁E₁∥B₁D₁，
在四边形BB₁D₁D中，BD∥B₁D₁，且BD=B₁D₁，
所以：A₁E₁∥BD，且A₁E₁=BD，
则四边形A₁BDE₁是平行四边形．
所以A₁B∥E₁D．
在△ABA₁中，AM=AN=1，AB=AA₁=3，
所以：
$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{{AA}_{1}}$
则：MN∥BA₁，
且：MN∥DE₁，
所以：M，N，E₁，D四点共面；

（2）解：以点E坐标原点，EA，ED，EE₁线
分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则B（$3\sqrt{3}，3，0$），C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{9}{2}，0$），D（0，3，0），E₁（0，0，3），M（3$\sqrt{3}$，1，0）．
$\overrightarrow{BC=}（-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{{DE}_{1}}=（0，-3，3）$，$\overrightarrow{DM}=（3\sqrt{3}，-2，0）$，
设平面MNE₁D的法向量为：$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{DE}_{1}=0}\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=0\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}-3y+3z=0\\ 3\sqrt{3}x-2y=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{m}=（2，3\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$，
设直线BC与平面MNE₁D所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}$=$\frac{\sqrt{174}}{116}$
故直线BC与平面MNE₁D所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{174}}{116}$．

点评 本题考查的知识要点：四点共面的判定，直线与平面的夹角的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，向量的数量积的应用．主要考查学生的应用能力．