Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2，$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=-1$，则|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$|的最大值为$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．•

Answer 1

分析 分别用有向线段$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DE}$表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，根据已知条件可知四边形ADBE为菱形，从而分别以该菱形的对角线DE，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设C（x，y），从而能求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，并表示出$\overrightarrow{c}$的坐标，从而根据$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=-1$即可得到x²+y²=2，所以y的范围-2≤y≤2，从而根据$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$的坐标即可表示出$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$，根据y的范围即可求得$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：如图，作$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，并满足$|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{DE}|=2$；
连接EA，EB，则四边形ADBE为菱形；
∴DE⊥AB，且互相平分；
∴分别以DE，BA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；
则能求以下几点坐标：
A（0，$\sqrt{3}$），D（-1，0），B（0，-$\sqrt{3}$）；
设C（x，y），则：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{DA}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}=（1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{DC}=（x+1，y）$；
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（x，y-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=（x，y+\sqrt{3}）$；
∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=-1$；
∴x²+y²-3=-1；
∴x²+y²=2；
∴$-\sqrt{2}≤y≤\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=\sqrt{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{2-2\sqrt{3}y+3}$$≤\sqrt{2+2\sqrt{3}•\sqrt{2}+3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，当y=-$\sqrt{2}$时取“=”；
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$|的最大值为$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，菱形的概念，建立平面直角坐标系，通过向量坐标解决向量问题的方法，能正确确定点的坐标，以及数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度，以及完全平方式的运用．