Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．设数列bn=

an

，{b_n}的前n项和为T_n
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求{a_n}的通项；
（2）若λa_n-a_n+1≤0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）求证：对任意n≥2的整数，b2+b3+…bn＜

2

3

(

3n-2

-1)
（4）是否存在实数M，使得对任何的n∈N^*，T_n＜M恒成立，如果存在求出最小的M，如果不存在请说明理由．．（此问不做）

Answer 1

分析：（1）将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，即证得结论，同时求出数列{

1

an

}的通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）求得的结果代入λa_n-a_n+1≤0，分离参数，得到λ≤

an+1

an

转化为求函数的最小值；（3）把（1）求得的结果代入bn=

an

，求得数列{b_n}的通项公式，并利用数学归纳法证明；（4）假设存在实数M使得T_n＜M，根据假设，利用不等式进行放缩，推出矛盾，即可说明结论．

解答：解：（1）将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)
所以{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，3为公差的等差数列
所以：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，即an=

1

3n-2

（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即λ≤

an+1

an

恒成立整理得：λ≤

3n-2

3n+1

=1-

3

3n+1

设f(x)=1-

3

3x+1

，作图或求导可知，f（x）在x∈(-

1

3

，+∞)上单调递增，
即当n=1时，[1-

3

3n+1

]min=

1

4

所以λ的取值范围为λ∈(-∞，

1

4

]
（3）①n=2时，左边=b2=

1

4

=

1

2

＜右边=

2

3

(

4

-1)=

2

3

，所以不等式成立；
②假设n=k时，b2+b3+bk＜

2

3

(

3k-2

-1)
则n=k+1时，b2+b3+bk+bk+1＜

2

3

(

3k-2

-1)+bk+1=

2

3

(

3k-2

-1)+

1

3k+1

要证：n=k+1时也成立，只需证

2

3

(

3k-2

-1)+

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-1)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-1)-

2

3

(

3k-2

-1)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3k+1

-

3k-2

)?

1

3k+1

＜

2

3

(

3

3k+1 + 3k-2

)?

3k-2

＜

3k+1

显然成立．
所以n=k+1时不等式也成立
综合①②对任何的n≥2的整数b2+b3+bn＜

2

3

(

3n-2

-1)
（4）假设存在实数M使得T_n＜M，
由bn=

an

，得bn=

an

=

1 3n-2

=

2

2 3n-2

＞

2

3n-2 + 3n+1

=

2

3

(

3n+1

-

3n-2

)
所以，T_n=b₁+b₂+…+b_n＞

2

3

(

3×1+1

-

3×1-2

+

3×2+1

-

3×2-2

+…+

3n+1

-

3n-2

)=

2

3

(

3n+1

-1)
即

2

3

(

3n+1

-1)＜Tn，
所以若T_n＜M，则

2

3

(

3n+1

-1)＜M，对于事先给定M这是不可能的
所以不存在M使得对任何的n∈N^*，T_n＜M

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（4）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．