Question

【题目】函数.

（1）讨论在上的最大值；

（2）有几个（，且为常数），使得函数在上的最大值为？

Answer 1

【答案】（1）；（2）两个.

【解析】

（1）利用导数求出在上的最大值为，然后当时，，，，从而可得到答案；

（2）当时，，然后分、两种情况讨论，当时，，记，利用导数得到在上有唯一的零点即可.

（1），，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴在上的最大值为；

又当时，，，

此时，，

所以在上的最大值为.

（2）当时，.

①当时，，的最大值为，

∴，；

②当时，的最大值为，∴.

令，则有，

记，

则，.

当时，，单调递减，又∵，

∴在上有唯一的零点.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

∴，又∵，

所以在上有唯一的零点，在上的函数值恒大于0.

即在上有唯一的零点.

∴在上有唯一解，.

综上所述，有两个符合题意.