题目内容

对函数y=f（x）=4sin（2x+ $数学公式$ ）（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x- $数学公式$ ）
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
③函数y=f（x）的图象关于点（- $数学公式$ ，0）对称
④函数y=f（x）的图象关于直线x=- $数学公式$ 对称
其中正确的命题是 ________．

①③
分析：利用诱导公式化简①，判断正误；求出周期判断②；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答．
解答：①f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=4cos（ $\text{[math]}$ -2x- $\text{[math]}$ ）=4cos（2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=4cos（2x- $\text{[math]}$ ）
②最小正周期T= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =π，②不正确；
③f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的对称点满足（x，0）
2x+ $\text{[math]}$ =kπ，x=（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ k∈Z
（- $\text{[math]}$ ，0）满足条件
④f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的对称直线满足
2x+ $\text{[math]}$ =（k+ $\text{[math]}$ ）π；x=（k+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
x=- $\text{[math]}$ 不满足
故答案为：①③
点评：本题考查正弦函数的性质，考查基本概念，基本知识的理解掌握程度，是基础题．

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）（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

）
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
③函数y=f（x）的图象关于点（-

，0）对称
④函数y=f（x）的图象关于直线x=-

对称
其中正确的命题是

对函数y=f（x）（x₁≤x≤x₂），设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是图象上的两端点，O为坐标原点，且点N满足

，λ≥0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx₁+（1-λ）x₂，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x²-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为

我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：

．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：

．（4分）
（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，

是其“和谐数”；
（3）判断函数u（x）=x²，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．

若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列三个命题：
①y=x^-2是“黄金函数”；
②y=lnx是“黄金函数”；
③y=2^x是“黄金函数”，
其中正确命题的序号是

函数y=sin(2x+

)+1，x∈R，则对函数y=f（x）描述正确的是（　　）

A．最小正周期为2π的偶函数

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为2π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数