Question

对函数y=f（x）（x₁≤x≤x₂），设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是图象上的两端点，O为坐标原点，且点N满足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，λ≥0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx₁+（1-λ）x₂，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x²-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为

4

．

Answer 1

分析：利用向量共线即可得出点N的坐标及λ的取值范围、利用两点间的距离公式即可得出|MN|、再二次函数的单调性即可得出．

解答：解：由函数f（x）=x²-2x-1及区间[-1，3]可得区间端点A（-1，2），B（3，2）．
∴

ON

=λ(-1，2)+(1-λ)(3，2)=（3-4λ，2），∴N（3-4λ，2）；
∵点N满足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，λ≥0，∴0≤λ≤1．
∴x_M=3-4λ，y_M=（3-4λ）²-2（3-4λ）-1=16λ²-16λ+2，
∴|MN|=

0+(16λ2-16λ)2

=|16λ²-16λ|=16|(λ-

1

2

)2-

1

4

|，
∵λ∈[0，1]，∴0≤(λ-

1

2

)2≤

1

4

，|(λ-

1

2

)2-

1

4

|∈[0，

1

4

]，
∴|MN|≤4．
∴函数f（x）=x²-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为4．
故答案为4．

点评：正确理解新定义、向量共线、二次函数的单调性是解题的关键．