Question

17．如图1，在边长为12的正方形AA′A${\;}_{1}^{′}$A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，且BC=4，AA${\;}_{1}^{′}$分别交BB₁，CC₁于点P，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A${\;}_{1}^{′}$与AA₁重合，构成图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，在图2中：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，使得BM∥平面APQ，求点M到平面PAQ的距离．

Answer 1

分析 （1）由BB₁⊥平面ABC得BB₁⊥AB；由勾股定理得AB⊥BC，从而证得AB⊥平面BCC₁B₁，从而AB⊥PQ．
（2）建系，求得平面APQ的一个法向量为设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AC}$，根据题意$\overrightarrow{BM}$-$\overrightarrow{n}$=0求得λ，进而求得点M到平面PAQ的距离．

解答 （1）∵BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AB；
由勾股定理得AB⊥BC，
∵BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥PQ
（2）如图建系，由条件得BP=3，CQ=7，可求得平面APQ的
一个法向量为N=（1，-1，1）．设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$=（3-3λ，4λ，0），
由题意有$\overrightarrow{BM}$-$\overrightarrow{n}$=0，
解得λ=$\frac{3}{7}$，则d=$\frac{|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用，法向量的运用．考查了学生综合分析问题解决问题的能力．