Question

如图所示棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．

(1)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
(2)求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

(1)球的最大半径为．(2)四棱锥外接球的半径为．

(1)设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
V_P—ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a=a³，
S_△PAD=S_△PDC=·a·a=a²，
S_△PAB=S_△PBC=·a·=，
=a²．
V_P—ABCD=V_S—PDA+V_S—PDC+V_S—ABCD+V_S—PAB+V_S—PBC,
R(S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD),

所以，
,
即球的最大半径为．
(2)设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，
在Rt△PAB中，FA=FP=FB，
在Rt△PBC中，FP=FB=FC，
所以FP=FB=FA=FC=FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，
则FP为外接球的半径．
因为FB=PB，所以FB=.
所以四棱锥外接球的半径为．