Question

椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若的斜率为，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：由已知中椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，可先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即A、B的坐标是方程组 的解．两式相减，得出b与a的关系，再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，从而求得椭圆的方程．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组 的解．
即：a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为 =-1，
所以 =，
即 =，==，所以b=a①
再由方程组消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2 ，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（ ）²-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的椭圆的方程为 +=1．
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合，其中设而不求，联立方程，韦达定理，是解答此类问题常用的方法．