Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n.

（1）        ；
（2）        .

Answer 1

（1）18；（2）.

试题分析：（1）设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种.时，第1区域有3种选择， 第2区域有2种选择，第3区域有2种选择，因为第4区域要与第1区域颜色不同，故对第3区域的选择分类讨论：当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择；当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择.所以；（2）当将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时，第1区域有3种染色方案，第2区域至第区域有2种染色方案.此时考虑第区域也有2种涂色方案，在此情况下有两种情况：
情况一：第区域与第1区域同色,此时相当将这两区域重合，这时问题转化为3种不同颜色给圆上个区域涂色,即为种染色方案；
情况二：第区域与第1区域不同色,此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上个区域染色,且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是.根据分类原理可知，且满足初始条件：.
即递推公式为，由变形得，所以数列是以-1为公比的等比数列.所以，即.当时，易知有3种染色方法，即，不满足上述通项公式；当时，易知有种染色方法，即，满足上述通项公式；当时，易知有种染色方法，即，满足上述通项公式.
综上所述，.