Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+l|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|-|x-2|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
而

3

2

对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，由此可得不等式f（x）≥2 的解集．
（Ⅱ）先求得f（x）的最小值等于3，则由题意可得3≤|a-2|，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+l|-|x-2|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离
减去它到2对应点的距离，而

3

2

对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，
故不等式f（x）≥2 的解集为[2，+∞）．
（Ⅱ）由不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，可得f（x）的最小值小于或等于|a-2|．
而f（x）的最小值等于3，∴3≤|a-2|，∴a-2≤-3，或a-2≥3．
解得 a≤-1，或 a≥5，故实数a的取值范围为 {a|a≤-1，或 a≥5}．

点评：本题主要考查绝对值的意义．绝对值不等式的解法，属于中档题．