Question

抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分成m和n两部分，则

1

m

+

1

n

=

1

．

Answer 1

分析：当直线斜率存在，可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得

1

m

+

1

n

，当斜率不存在时，亦可求得

1

m

+

1

n

．

解答：解：∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），假设过F点的直线l的斜率存在，设为k，
则l的方程为：y=k（x-1），直线方程与抛物线方程联立消去y得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设直线l与抛物线y²=4x的两交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁、x₂为方程k²x²-（2k²+4）x+k²=0的两根，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1．
又由抛物线定义可得：
m+n=x₁+x₂+p=2+

4

k2

+2=4+

4

k2

，
m•n=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=4+

4

k2

．
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=1．
②若k不存在，则AB方程为x=1，m=n=2，显然符合

1

m

+

1

n

=1．
综上所述：

1

m

+

1

n

=1．
故答案为：1．

点评：题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难题．