Question

18．已知球面上有A、B、C三点，BC=2$\sqrt{3}$，AB=AC=2，若球的表面积为20π，则球心到平面ABC的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知中球的表面积为20π，我们可以求出球半径R，再由△ABC中，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，解三角形我们可以求出△ABC所在平面截球所得圆（即△ABC的外接圆半径），然后根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC的距离．

解答 解：∵球的表面积为20π，S=4πR²，
∴球的半径R=$\sqrt{5}$
∵又AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+4-12}{2×2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
则sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则△ABC的外接圆半径2r=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
则r=2，
则球心到平面ABC的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{5-4}$=1，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方法．