Question

已知函数f（x）=a^x-

1

ax

（a＞1），当θ∈[0，

π

2

]变化时，f（msinθ）+f（1-m）≥0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，利用参数分离法即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=a^x-

1

ax

（a＞1），
∴f（-x）=a^-x-

1

a-x

=-（a^x-

1

ax

），（a＞1），
则函数f（x）是奇函数，
当a＞1，f（x）=a^x-

1

ax

单调递增，
当θ∈[0，

π

2

]变化时，f（msinθ）+f（1-m）≥0恒成立，
等价为f（msinθ）≥-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即msinθ≥m-1，
当θ=

π

2

，m≥m-1成立，
当θ∈[0，

π

2

）时，m＜

1

1-sinθ

，
则

1

1-sinθ

≥1，∴m≤1．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．