Question

13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{3}$？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{3}$．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．

解答 解：（I）CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
所以F是BN的中点．
因为E是AB的中点，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．
又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，
∴DN⊥面ABCD，
如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），P（$\sqrt{3}$，-1，h），
$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，-1，h），
设平面PEC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-2y=0}\\{-y+hz=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$h，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2h，$\sqrt{3}$h，$\sqrt{3}$），
又平面ADE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7{h}^{2}+3}}$=$\frac{1}{2}$，解得h=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴在线段AM上是否存在点P，当h=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$时使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．