Question

（2005•辽宁）已知函数f（x）=（x≠﹣1）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），数列{bn}满足bn=|an﹣|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．

（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤；

（Ⅱ）证明Sn＜．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式bn≤当n=1时成立，再假设不等式bn≤当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式bn≤也成立，最后得到不等式bn≤对于所有的正整数n成立；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，我们可以利用放缩法证明Sn＜，放缩后可以得到一个等比数列，然后根据等比数列前n项公式，即可得到答案．

证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．

因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明不等式bn≤．

（1）当n=1时，b1=﹣1，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．

那么bk+1=|ak+1﹣|=

≤．

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．

所以Sn=b1+b2+…+bn≤（﹣1）++…+=（﹣1）•＜（﹣1）•=．

故对任意n∈N*，Sn＜．