Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：时，．

Answer 1

解：（1）因为，x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，
所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：，得
解之得：，c=﹣1
从而，函数解析式为：
（2）由于，f'（x）=x²﹣1，
设：任意两数x₁，x₂∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k₁=f'（x₁）=x₁²﹣1，k₂=f'（x₂）=x₂²﹣1
又因为：﹣1≤x₁≤1，﹣1≤x₂≤1，
所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠﹣1 故，
当x∈[﹣1，1] 是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
（3）当：时，x²∈（0，3）且3﹣x²＞0此时F（x）=|xf（x）|===
当且仅当：x²=3﹣x²，即，取等号，故；