Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的大小；
（2）二面角B-AC₁-D的大小；
（3）四面体ABDC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AB₁，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，故∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角，由此能求出直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角．
（2）过B作BE⊥AC，垂足为E，连接ED，由△ABC₁≌△ADC₁，知∠BAC₁=∠DAC₁，由AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE，知△ABE≌△ADE，由此能求出二面角B-AC₁-D的大小．
（3）VABDC1=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•CC1，由此能求出四面体ABDC₁的体积．

解答：解：（1）连接AB₁，∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影，
∴∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角，
在△C₁AB₁中，tan∠C1AB1=

1

5

，
∠C1AB1=arctan

5

5

，
∴直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角为arctan

5

5

．
（2）过B作BE⊥AC，垂足为E，连接ED，
∵△ABC₁≌△ADC₁，∴∠BAC₁=∠DAC₁，
∵AB=AD，∠BAC₁=∠DAC₁，AE=AE
∴△ABE≌△ADE，
∴∠AEB=∠AED=

π

2

∴∠BED是二面角B-AC₁-D的平面角，
在△BED中，BE=ED=

30

6

，BD=

2

，cos∠BED=-

1

5

，
∴∠BED=π-arccos

1

5

∴二面角B-AC₁-D的大小为π-arccos

1

5

．
（3）VABDC1=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•CC1=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角面积的求法，考查四面体体积的求法，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．