Question

19．已知定义在R的函数f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断f（x）奇偶性，并说明理由；
（2）若关于x的不等式f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0在R上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）结合函数的单调性和奇偶性得到m＜2-cos²x-4sinx，结合三角函数的性质从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
（2）∵f（x）是R上的增函数，
则由f（m-2）+f（cos²x+4sinx）＜0，
得：f（m-2）＜f（-cos²x-4sinx），
得：m＜2-cos²x-4sinx=sin²x-4sinx+1，
因为sinx∈[-1，1]，则当sinx=1时，g（x）_min=-2，
∴m＜-2．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．