Question

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且=．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：，且的最小值为，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，知抛物线P：x²=4cy．设过F₂的直线l的方程为y+c=kx，联立，得x²-4kcx+4c²=0，利用韦达定理能证明切线l的斜率为定值．
（2）设EO=t，由，知T在线段EO上移动，故，由的最小值为，得到t=．由此能求出抛物线P的方程．
（3）由直线l的方程为y=x-．联立，得（2a²-5）x²-2（a²-5）x-（a²-5）²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，．当λ=2时，x₁=-2x₂．当λ=4时，x₁=-4x₂．由此能求出椭圆离心率e的取值范围．
解答：（1）证明：∵椭圆的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），
抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，
∴，∴抛物线P：x²=4cy．
设过F₂的直线l的方程为y+c=kx，
联立，得x²-4kcx+4c²=0，
∵过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
∴，
解得k=1．
故切线l的斜率k为定值1．
（2）设EO=t，∵，
∴T在线段EO上移动，
∴，
∵的最小值为，
∴当||=||=时，的最小值=-=-，
∴t=．
∵过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，
∴由（1）知k=1，抛物线在E点处的导数，得E（p，），
由t²=P²+（）²=5，解得P=2，所以抛物线方程为，
∴抛物线P的方程为x²=4y．
（3）由（2）得c=，
∵直线l的斜率k=1，∴直线l的方程为y=x-．
联立，得（2a²-5）x²-2（a²-5）x-（a²-5）²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，．
∵直线l与椭圆C相交于A、B两点，且=，λ∈[2，4]，
∴当λ=2时，x₁=-2x₂．
∴=-x₂，=-2．
∴=-2•，解得a=，e==．
当λ=4时，x₁=-4x₂．
∴=-3x₂，=-4．
∴=-4••，解得a=，e==．
∴椭圆离心率e的取值范围是[]．
点评：本题考查切线斜率为定值的求法，考查抛物线方程的求法，考查椭圆离心率取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．