Question

已知点P是曲线y＝x²－ln x上的一个动点，则点P到直线l：y＝x－2的距离的最小值为________．

Answer 1

[解析]　通解：设P(x，y)，则点P到直线l的距离为

令h(x)＝x＋ln x－x²－2，则h′(x)＝1＋－2x(x>0)．令1＋－2x＝0，解得x＝1，即当0<x<1时，h′(x)>0，此时h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，此时h(x)为减函数．所以当x＝1时，h(x)取最大值，h(x)_max＝1＋ln 1－1²－2＝－2，所以|x＋ln x－x²－2|_min＝2，所以点P到直线l的距离的最小值为＝.

优解：y′＝2x－(x>0)，因为将直线l平移到与曲线第一次相切时，点P到直线l的距离最小，即为切点到直线l的距离，而直线l：y＝x－2的斜率为1，所以令2x－＝1，解得x＝1(x＝－舍去)，所以切点坐标为(1,1)，它到直线y＝x－2的距离为＝，即点P到直线l的距离的最小值为.