Question

已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图所示．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若∠BAD=60°，当四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分时，若二面角B-AE-C的大小为45°，求PD：AD的值．

Answer 1

分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，由锥体的体积公式结合V_E-ABC=

1

4

V_P-ABCD，得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD且PD∥OE，得到OE⊥面ABCD，证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=

6

4

AD，由此即可得到PD：AD的值．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
又∵AC?平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（2）连接OE，
∵四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分，∴V_E-ABC=

1

4

V_P-ABCD，
∵△ABC的面积等于菱形ABCD面积的一半，
∴E到平面ABCD的距离等于P到平面ABCD距离的

1

2

，可得E为PB的中点．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO?平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=

1

2

a，OA=

3

2

a，
在Rt△BOF中，tan∠BFO=

OB

OF

=

1 2 a

OD

=1，可得OF=

1

2

a
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE
即

3

2

a•OE=

1

2

a•

3 4 a2+OE2

，解之得OE=

6

4

a
∴PD=2OE=

6

2

a，可得PD：AD=

6

：2，即PD：AD的值为

6

2

．

点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．