Question

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，如果该椭圆经过点A(0，)，且△AF1F2的周长为， (1) 求这个椭圆的方程； (2) 设该椭圆与直线相交于不同的两点M、N，问是否存在实数,使得，为什么？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由于椭圆过点A(0，)，则(1分)，而的周长为， 则，由椭圆定义知，， 故(3分)，而，联立解得(5分)， 因此，椭圆方程为(6分) 说明：本题还有其它方法，如可设M()，()，MN的中点为P()， 则，，两式相减得, ∵,,,故①,设，则AP⊥MN，，②，联立①、②得，，而点P在直线MN上，，即，此时直线方程为，代入椭圆方程无实数解,则直线与椭圆C无交点，因此，不存在实数，使得．当然也可以根据点P(,)不在椭圆C内而知直线与椭圆C无交点．
(2)	解：假设存在实数m满足题设，由得 由于直线与椭圆有两个交点，即①(8分) 设MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则从而，(10分) 又，则，而，∴(12分) 即，此与①相矛盾(13分)，因此，不存在这样的实数，使得(14分) 　　说明：对没有检验者得出,至少要扣3分