Question

（2011•乐山一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且有

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1，b1=3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设cn=

an

bn

，试判断数列{c_n}的单调性，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，设M_n是数列{c_n}的前n项和，证明：Mn≥4-

n+2

2n-1

．

Answer 1

分析：（1）根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求数列{a_n}的通项a_n，根据

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1，可得b_n+1=2b_n-1，从而{b_n-1}是公比为2的等比数列，故可求数列{b_n}的通项b_n；
（2）cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

，数列{c_n}为递减数列，再用作差法证明即可；
（3）根据cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

≥

2n

2n

=

n

2n-1

，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用错位相消法，求出右边的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式
∴a_n=2n+1
∵

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比为2的等比数列
∴bn-1=(b1-1)•2n-1=2n
∴bn =2n+1
（2）解：cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

，数列{c_n}为递减数列
证明：∵cn+1-cn=

2n+3

2n+1+1

-

2n+1

2n+1

=

(1-2n)•2n+2

(2n+1+1)(2n+1)

＜0
∴数列{c_n}为递减数列
（3）证明：∵cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

≥

2n

2n

=

n

2n-1

∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

令rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
∴

1

2

rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②：

1

2

rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴rn=4-

n+2

2n-1

∴1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

∴Mn≥4-

n+2

2n-1

点评：本题以数列的和为载体，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查不等式的证明，同时考查错位相减法求数列的和，综合性强．