Question

10、函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是（　　）

A、（0，16）

B、（0，36）

C、（16，36）

D、（0，+∞）

Answer 1

分析：本题考察的是函数的性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定函数y=f（x）是定义在R上的增函数，而且是奇函数，则不难求出满足条件实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，对应的平面区域，分析表达式x²+y²的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．

解答：解：∵函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称
即函数y=f（x）为奇函数，
则f（-x）=-f（x）
则不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0可化为：
f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
又由函数y=f（x）是定义在R上的增函数
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即x²-6x+y²-8y+24＜0
即（x-3）²+（y-4）²＜1
则（x，y）点在以（3，4）为圆心，以1为半径的圆内
而x²+y²表示的是圆内任一点到原点距离的平方
∴（5-1）²=16＜x²+y²＜（5+1）²=36
故选C

点评：函数的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将函数的性质与圆的方程融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．