Question

证明：椭圆与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是______．

Answer 1

【答案】分析：将直线方程与椭圆方程联立，利用椭圆与直线y=kx+2至多有一个交点，等价于△≤0，即可证得结论．
解答：证明：由方程组得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴△=256k²-16（3+4k²）=48（4k²-1）
充分性：当时，△≤0，∴椭圆与直线至多有一个交点；
必要性：∵椭圆与直线y=kx+2至多有一个交点，
∴△≤0，∴48（4k²-1）≤0，解得
所以椭圆与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是．
故答案为
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查根的判别式，考查学生的计算能力，属于中档题．