Question

证明：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是

k∈[-

1

2

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：将直线方程与椭圆方程联立，利用椭圆

x2

4

+

y2

3

=1与直线y=kx+2至多有一个交点，等价于△≤0，即可证得结论．

解答：证明：由方程组

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴△=256k²-16（3+4k²）=48（4k²-1）
充分性：当k∈[-

1

2

，

1

2

]时，△≤0，∴椭圆与直线至多有一个交点；
必要性：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1与直线y=kx+2至多有一个交点，
∴△≤0，∴48（4k²-1）≤0，解得-

1

2

≤k≤

1

2

所以椭圆

x2

4

+

y2

3

=1与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是k∈[-

1

2

，

1

2

]．
故答案为k∈[-

1

2

，

1

2

]

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查根的判别式，考查学生的计算能力，属于中档题．