Question

如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

Answer 1

y²＝8x(1≤x≤4，y>0)

以直线l₁为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．
设曲线段C的方程为y²＝2px(p＞0)(x_A≤x≤x_B，y＞0)，其中x_A、x_B为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M、N.由|AM|＝，|AN|＝3，得＋2px_A＝17，①
＋2px_A＝9.②
联立①②，解得x_A＝，代入①式，并由p＞0，解得或∵△AMN为锐角三角形，∴＞x_A.∴由点B在曲线段C上，得x_B＝|BN|－＝4.
综上，曲线C的方程为y²＝8x(1≤x≤4，y>0)．