题目内容
如图：四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BF∥平面PAD．
分析：（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．
（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BF∥AE，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．
（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BF∥AE，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．
解答：
证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD?平面PCD，
所以平面PDC⊥平面PAD．
（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，
因为F为PC的中点，
所以EF为△PCD的中位线，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因为CD=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BF∥AE，
因为AE?平面PAD，BF?平面PAD
所以BF∥平面PAD．
证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD?平面PCD，
所以平面PDC⊥平面PAD．
（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，
因为F为PC的中点，
所以EF为△PCD的中位线，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因为CD=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BF∥AE，
因为AE?平面PAD，BF?平面PAD
所以BF∥平面PAD．
点评：本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=