Question

已知圆为ΔABC的内切园，且BC中点为（1，-1），BC∥x轴。⑴求ΔABC顶点A的轨迹方程。⑵求|BC|的范围。⑶试问ΔABC的面积是否存在最小值？请证明你的判断。

Answer 1

(Ⅰ) x+y="1(x<0)   " (Ⅱ) （，+∞）  （Ⅲ）有最小值

⑴设A（m,n），过A的园的切线y-n="k(x-m) " 即kx-y+n-km=0
则，即（m²-1）k²-2mnk+n²-1="0 " Δ>0得m²+n²>1   ①
设此方程两解k₁=k_AB  k₂=k_AC 则   ②
另一方面BC：y="-1 " 由AB：y-n=k₁(x-m)    AC：y-n=k₂(x-m)
解得：
由于BC中点为（1，-1）,∴
即，把②代入得：
即：得m+n="1 " 由①及⊙O为ΔABC内切园知，A的轨迹方程为x+y="1(x<0) " （6分）
⑵由⑴知n>1,m<0 
  （8分）

∴BC的范围为（，+∞）     （10分）
⑶存在易知，令t="n-1>0 " n=t+1
 （12分）
证法1：再令，则 上增函数。
易知 ∴内恰有一解，设此解为x₀，即由是增函数，则为减函数。
是增函数。
存在最小值，即ΔABC面积有最小值。    （14分）
证法2：
易知为减函数。为增函数
有最小值，∴ΔABC面积有最小值