题目内容
15．已知实数x1，x2，…，x10满足$\sum_{i=1}^{10}$|xi-1|≤4，$\sum_{i=1}^{10}$|xi-2|≤6，求x1，x2，…，x10的平均值．分析 由|x-1|+|x-2|≥1可得|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|≥10，再由|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|≤10可得，|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|=10，从而可判断x1，x2，…，x10∈[1，2]，从而可得x1+x2+x3+…+x10=14，从而求平均值即可．
解答 解：∵|x-1|+|x-2|≥1恒成立（当且仅当x∈[1，2]取等号），①
将题中两式相加，并重新分组得，
|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|≤10，②
根据①得，|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|≥10，③
由②③得，|x1-1|+|x1-2|+|x2-1|+|x2-2|+…+|x10-1|+|x10-2|=10，
当且仅当x1，x2，…，x10∈[1，2]时等号成立，
所以，x1-1+x2-1+x3-1+…+x10-1=4，
即x1+x2+x3+…+x10=14，
故平均数为$\frac{14}{10}$=1.4．
点评 本题考查了绝对值不等式的应用，同时考查了平均值的求法，属于基础题．
练习册系列答案
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